计算机图形学基础（1）——线性代数
最近对计算机图形学比较感兴趣，刷了一遍《计算机图形学入门：3D渲染指南》，看了一遍《GAMES 101》。本文对计算机图形学的线性代数相关基础进行了梳理和总结，以便后续进行复习和回顾。
点
点（Point）表示坐标系中的一个特定位置，其具体表示和抽象表示分别如下。
- 使用 大写字母 的方式来抽象表示一个点，如：\(P\)。
- 使用 圆括号 + 数字序列 的方式来具体表示一个点，如：\((4, 3)\)。
在具体表示中，数字序列的顺序很重要。按照惯例，在 2D 平面中依次表示 \(x\)、\(y\) 轴的值；在 3D 空间中依次表示 \(x\)、\(y\)、\(z\) 轴的值。对此，我们也可以结合两种方式来表示一个抽象的点，比如：\((P_x, P_y)\)。
向量
向量（Vector）表示两个点所构成线段的长度和方向，其具体表示和抽象表示分别如下。
- 向量的抽象表示一般有三种，分别是：
- 使用 小写字母 + 箭头上标 的方式，如：\(\vec{a}\)。
- 使用 加粗小写字母 的方式，如：\(\textbf{a}\)。
- 使用 两个点 + 箭头上标 的方式，如：\(\overrightarrow{AB} = B - A\)。注：大写字母表示点。
- 向量的具体表示中，默认以坐标原点作为起点，因此只需要描述终点即可。向量一般使用矩阵来表示，包含两种方式，分别是：
在定义中我们提到向量包含了两个点之间的长度和方向两种信息。对此，我们可以各自使用一种方式来表示这两种信息。
- 使用 小写字母 +
^上标 的方式表示 单位向量（Unit Vector），即长度等于 1 的向量，如：\(\widehat{a}\)。一般用来表示方向。 - 使用 向量 + 双竖线 的方式表示 向量长度（Vector Length），如：\(|\vec{a}|\)。
单位向量可以通过向量除以向量长度的方式计算得到，如下所示。
\[\begin{aligned} \widehat{a} = \vec{a} / |\vec{a}| \end{aligned}\]在计算机图形学中，单位向量的应用非常多，比如：法线向量。在计算光线的折射和反射时，法线必不可少。
向量的加减运算
向量的加减运算可以使用 平行四边形法则 或 三角形法则 进行计算，如下图所示。
向量的加减运算非常简单，只需要把两个向量的对应坐标的值进行加减运算即可，如下所示。
\[\begin{aligned} \vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{matrix} a_x & a_y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} b_x & b_y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_x + b_x & a_y + b_y \end{matrix} \right) \\ \vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{matrix} a_x & a_y \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} b_x & b_y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_x - b_x & a_y - b_y \end{matrix} \right) \end{aligned}\]向量的乘法运算
向量的乘法运算比较特殊，它有两种乘法运算，分别是：
- 点积（Dot Product），或称 点乘
- 叉积（Cross Product），或称 叉乘
点积
两个向量之间的点积是一个数值，一般使用 点运算符 表示。
点积的运算非常简单，只要将每个向量对应的坐标值相乘并求和即可，如下所示为一个点积的示例。
\[\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{matrix} a_x & a_y & a_z \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} b_x \\ b_y \\ b_z \\ \end{matrix} \right) = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \end{aligned}\]向量点积的特性
- 符合交换律，即 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
- 符合分配律，即 \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
- 不符合结合律。点乘的结果是一个标量，不是向量，因此无法与另一个向量继续进行点乘运算。
在计算机图形学中，点积的应用非常广泛，主要包括：
- 计算两个向量之间的夹角
- 计算一个向量在另一个向量上的投影
- 计算一个向量正交分解后的两个向量
- 判断一个向量相对于另一个向量是正向还是反向
下面，我们来看一下这几种应用是如果通过计算实现的。
首先，如何计算两个向量之间的夹角？在几何上，两个向量的点积与它们的长度以及它们之间的夹角 \(a\) 有关，确切的公式巧妙地将线性代数和三角函数联系在了一起，如下所示。
其次，如何计算一个向量在另一个向量上的投影？如下所示，求向量 \(\vec{b}\) 在向量 \(\vec{a}\) 上的投影 \(\vec{b}_\bot\)，很显然，\(\vec{b}_\bot\) 与 \(\vec{a}\) 的方向是一致的，只是长度可能不同。因此，我们可以通过前面提到的方式计算两者之间的夹角，然后计算投影长度，并使用该长度乘以单位向量 \(\widehat{a}\) 即可。
接着，如何计算一个向量正交分解后的两个向量？上面我们在计算一个向量在另一个向量上的投影时，已经计算得到了一个方向的分解向量，另一个方向的分解向量我们只需通过向量减法即可得到，如下所示。
最后，如何判断一个向量相对于另一个向量是正向还是反向？判断两个向量的方向关系，本质上是看两者之间的夹角，如果是锐角，则认为是正向，如果是钝角，则认为是反向，如下所示。
叉积
两个向量之间的叉积是一个向量，一般使用 叉乘符号 表示。
叉积是一个垂直于两个向量的向量，其方向可以通过 右手螺旋定则 确定。
向量叉积的特性
- 符合分配律，即 \(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)
- 不符合结合律，即 \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})\)
- 不符合交换律，即 \(\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}\)
在计算机图形学中，乘积的应用主要包括一下这些：
- 判断一个向量相对于另一个向量的左右关系
- 判断一个向量相对于一个三角形的内外关系
那么，如何判断一个向量相对于另一个向量的左右关系？可以直接判断两个向量叉积的正负值。如下所示，在一个 3D 坐标中，\(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的叉乘符合右手螺旋定则的方向（图中与 Y 轴方向相同），则表示 \(\vec{A}\) 在 \(\vec{B}\) 的右边，反之则表示 \(\vec{A}\) 在 \(\vec{B}\) 的左边。
以及，如何判断一个向量相对于一个三角形的内外关系？事实上，我们可以利用上面这种左右关系判断的方法来组合判断。如下所示，我们可以分别判断 \(\overrightarrow{AP}\) 和 \(\overrightarrow{AB}\) 的左右关系，\(\overrightarrow{BP}\) 和 \(\overrightarrow{BC}\) 的左右关系，\(\overrightarrow{CP}\) 和 \(\overrightarrow{CA}\) 的左右关系，如果前者都在后者的一边（左边或右边），那么 \(P\) 就在三角形内；否则，在三角形外。
矩阵
矩阵是一个 \(m\) 行 \(n\) 列的数字阵列，通常我们使用一个 加粗的大写字母 抽象表示一个矩阵。在计算机图形学中，它被广泛应用于各种变换计算中，比如：平移、旋转、缩放等。
矩阵的乘法运算
矩阵的乘法必须满足一个前提：矩阵 \(A\) 的列数等于矩阵 \(B\) 的行数，即
(M x N)(N x P) = (M x P)。
矩阵 \(A\) 乘以矩阵 \(B\) 得到矩阵 \(C\)，其中矩阵 \(C\) 中的任意元素 (i, j)
的值等于 \(A\) 中第 i 行与
\(B\) 中第 j
列的点积，如下所示是一个矩阵乘法的示例。
矩阵乘法的特性
- 不符合交换律，即 \(AB \neq BA\)
- 符合分配律，即 \(A(B + C) = AB + BA\)
- 符合结合律，即 \((AB)C = A(BC)\)
在计算机图形学中，向量也会使用矩阵（行矩阵或列矩阵）来表示，向量之间的乘法以及向量与矩阵的乘法都符合矩阵乘法的基本规则。
矩阵的转置运算
矩阵的转置本质上就是沿着主对角线（从左上角至右下角）的对角线将 i x j 的矩阵翻转成 j x i 的矩阵。一般我们使用一个 上标 T 表示一个矩阵的转置，如：\(A^T\)。
如下所示，是一个矩阵转置运算的示例。
\[\begin{aligned} \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix} \right)^T = \left( \begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]矩阵转置的特性
- \((AB)^T = B^TA^T\)
矩阵的类型
下面，我们来介绍各种不同类型的矩阵。
对角矩阵
对角矩阵，其主对角线（从左上角到右下角）上的元素都是非 0，其他元素都为 0。
单位矩阵
单位矩阵，其主对角线（从左上角到右下角）上的元素都为 1，其余元素都为 0，一般使用大写字母 \(I\) 来表示。单位矩阵是一个特殊的对角矩阵。如下所示，是一个单位矩阵实例。
\[\begin{aligned} I_{3 \times 3} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]逆矩阵
给定一个矩阵 \(A\)，如果存在一个与之维度相同的矩阵，使得这两个矩阵相乘的结果是一个单位矩阵，那么我们称这个矩阵为矩阵 \(A\) 的逆矩阵，使用 \(A^{-1}\) 表示。如下所示，为逆矩阵的示例。
\[\begin{aligned} A A^{-1} =& A^{-1}A = I \\ (AB)^{-1} =& B^{-1}A^{-1} \end{aligned}\]矩阵的应用
上述我们介绍的向量的两种运算，其实完全可以使用矩阵的乘法来实现。
关于向量的点积，我们可以使用如下矩阵乘法来表示。
\[\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}^T \cdot \vec{b} = \left( \begin{matrix} a_x & a_y & a_z \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} b_x \\ b_y \\ b_z \\ \end{matrix} \right) = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \end{aligned}\]关于向量的叉积，我们可以使用如下矩阵乘法来表示，如下所示。其中 \(A^*\) 为矩阵 \(A\) 的对偶矩阵。
\[\begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} = A^* b = \left( \begin{matrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} b_x \\ b_y \\ b_z \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_y \cdot b_z - a_z \cdot b_y \\ a_z \cdot b_x - a_x \cdot b_z \\ a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]总结
本文介绍了点、向量、矩阵的基本定义和运算方法。向量的乘法包含两种：点积和叉积，两者被广泛应用在了在计算机图形学中。
点积和叉积的具体运算可以通过矩阵运算来实现，这也是为什么我们常说计算机图形学中包含了大量矩阵运算。
下文，我们将探讨矩阵在图形的变换中的应用，敬请期待吧~
参考
- 《GAMES 101》
- 《计算机图形学入门：3D渲染指南》
- 史上最全Markdown公式、符号总结