计算机图形学基础（2）——变换

上一篇文章我们介绍了计算机图形学中的线性代数基础，包括：点、向量、矩阵等。本文，我们将介绍向量和矩阵的进一步应用——变换。

概述

计算机图形学中，我们可能会对图形进行各种变换（Transform），如：

• 缩放（Scale）
• 平移（Transation）
• 旋转（Rotation）
• 切变（Shear）

2D 变换

首先，我们来介绍一下 2D 变换，以便了解变换是如何通过矩阵变换来实现的。

缩放变换

对于缩放变换，它主要包含两种：等比例缩放、非等比缩放。

等比例缩放

上图所示，为等比例缩放的示意图。根据等比例缩放的规则，我们可以根据缩放前 \(x\) 和 \(y\) 的值，得到一组关系式，如下所示。

\[\begin{aligned} x' =& sx \\ y' =& sy \\ \end{aligned}\]

根据此关系式，我们可以进一步推导出缩放矩阵及关系式，如下所示。

\[\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} s & 0 \\ 0 & s \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

非等比缩放

上图所示，为非等比缩放的示意图。根据非比缩放的规则，我们可以根据缩放前 \(x\) 和 \(y\) 的值，得到另一组关系式，如下所示。

\[\begin{aligned} x' =& s_xx \\ y' =& s_yy \\ \end{aligned}\]

根据此关系式，我们可以进一步推导出缩放矩阵及关系式，如下所示。对比一下，非等比缩放与等比例缩放的关系式非常相似。

\[\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

镜像变换

上图所示，为镜像变换的示意图。我们可以根据原始的 \(x\) 和 \(y\) 的值，得到一组关系式，如下所示。

\[\begin{aligned} x' =& -x \\ y' =& y \\ \end{aligned}\]

根据此关系式，我们可以进一步推导出镜像矩阵及关系式，如下所示。本质上，镜像变换是一种特殊的缩放变换。

\[\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

切变变换

上图所示，为切变变换的示意图。切变变换相对复杂一点，其 \(y\) 坐标值与 \(x\) 坐标值成一个比例关系。不过，我们仍然可以根据原始的 \(x\) 和 \(y\) 的值，得到一组关系式，如下所示。

\[\begin{aligned} x' =& x + ay \\ y' =& y \\ \end{aligned}\]

根据此关系式，我们可以进一步推导出镜像矩阵及关系式，如下所示。本质上，镜像变换是一种特殊的缩放变换。

\[\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

旋转变换

上图所示，为旋转变换的示意图。旋转变换的坐标推导需要借助三角函数，最终可得到如下一组关系式。

\[\begin{aligned} x' = cos{\theta}x - sin{\theta}y \\ y' = sin{\theta}x + cos{\theta}y \\ \end{aligned}\]

根据此关系式，我们可以进一步推导出旋转矩阵及关系式，如下所示。

\[\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

平移变换

截止目前位置，所有的的变换都可以通过推导得出一个变换矩阵，以此矩阵乘以任意点（以矩阵表示），都可以得到转换后的点（以矩阵表示），符合线性变换。

下面，我们来看一下比较特殊的平移变换。

上图所示，为平移变换的示意图，同样，我们也可以可得到如下一组关系式。

\[\begin{aligned} x' = x + t_x \\ y' = y + t_y \\ \end{aligned}\]

但是，我们进一步推导，得到的关系式与之前的变换不同，它有额外的偏移量，不符合线性变换，如下所示。

\[\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} t_x \\ t_y \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

我们总是希望能使用一个统一的关系式来描述各种变换，然而，平移变换打破了我们的美好预期。那么该如何解决呢？为此，我们引入了齐次坐标。

齐次坐标

为了能够统一表示所有变换，我们引入了 齐次坐标（Homogenous Coordinates）。这里的核心思想是为每一个点或向量添加一个额外的 \(w\) 坐标。

\[\begin{aligned} 2D 点的齐次坐标表示： \left( \begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \\ 2D 向量的齐次坐标表示： \left( \begin{matrix} x \\ y \\ 0 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

此时，我们再来尝试推导平移变换矩阵以及其关系式，可以得到如下所示内容。很显然，原来关系式中的偏移量没有了。

\[\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ w' \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x+t_x \\ y+t_y \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

仿射变换与线性变换

我们将线性变换和平移变换的组合，称为 仿射变换（Affine Transform），如下所示。在未引入齐次坐标之前，我们推导出来的平移变换就是一种仿射变换。

\[\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} t_x \\ t_y \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

当引入齐次坐标之后，所有的变换都可以统一使用线性变换来表示，如下所示。

\[\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

如下所示，是引入齐次坐标后，缩放变换，旋转变换，平移变换所对应的变换矩阵。

\[\begin{aligned} 缩放变换：& S(s_x, s_y) = \left( \begin{matrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \\ 旋转变换：& R(\alpha) = \left( \begin{matrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \\ 平移变换：& T(t_x, t_y) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

逆变换

我们将所有的反向变换都称为 逆变换（Inverse Transform），比如：我们将从 A 平移到 B 称为平移变换，那么从 B 平移到 A 则可称为逆变换，其他的缩放变换、旋转变换同样如此。

上一节，我们引入了齐次坐标后，所有的变换都可以转换成线性变换，其中以 \(M\) 为变换矩阵。而这些变换的逆变换，同样可以使用线性变换来表示，并以 \(M\) 的逆矩阵 \(M^{-1}\) 为变换矩阵。

组合变换

在真实情况下，我们遇到的变换大多数都是组合变换，也就是同时包含了缩放、旋转、平移等多种变换。

多种变换组合时，变换的顺序其实是非常重要的，我们以如下一个例子来进行介绍。

对于上面这种变换，如果我们先平移，再旋转，那么最终会变成如下所示的。这里的根本原因在于旋转变换时，仍然是以坐标原点为锚点进行旋转。

对此，正确的顺序应该是先旋转，后平移，这样才能达到预期的效果。

不同的顺序，矩阵变换的结果完全不同。前一篇文章我们提到过矩阵乘法不符合交换律，从这一点其实也能够解释这个现象。

在实际开发中，遇到这种类似的情况，我们一般都会先将目标平移至原点，然后进行各种其他变换，然后再通过逆变换平移回去。

3D 变换

关于 3D 变换，本质上与 2D 变换一样，只不过在矩阵表示上多了一个维度而已。

当我们引入齐次坐标之后，3D 的点和向量可以采用如下方式表示。

\[\begin{aligned} 3D点的齐次坐标表示：& \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \\ 3D向量的齐次坐标表示：& \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 0 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

与此对应，3D 变换的矩阵变换关系式为如下所示。

\[\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a & b & c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_z \\ 0 & 0 & 0 &1 \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

缩放变换

如下所示，为 3D 空间中的缩放变换的变换矩阵的定义。

\[\begin{aligned} S(s_x, s_y, s_z) = \left( \begin{matrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

平移变换

如下所示，为 3D 空间中的平移变换的变换矩阵的定义。

\[\begin{aligned} T(t_x, t_y, t_z) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

旋转变换

如下所示，为 3D 空间中的旋转变换的变换矩阵的定义，沿着不同的轴旋转，变换矩阵的定义也有所不同。

\[\begin{aligned} R_x(\alpha) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ 0 & sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \\ R_y(\alpha) = \left( \begin{matrix} cos\alpha & 0 & sin\alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin\alpha & 0 & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \\ R_z(\alpha) = \left( \begin{matrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0 & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

总结

本文我们简单梳理了一下缩放、旋转、平移几种变换对应的矩阵关系式。其中，平移变换比较特殊，为了能够统一关系式，我们引入了齐次坐标，在点、向量的矩阵表示中增加了一个维度。然后，我们介绍了一下在组合变换中变换顺序的重要性。最后，我们简单总结了 3D 变换的矩阵关系式。

参考

1. 《GAMES 101》
2. 《计算机图形学入门：3D渲染指南》