计算机图形学基础（7）——辐射度量学

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在介绍光线追踪之前，我们先来学习一下其所涉及的重要内容——辐射度量学。由于该内容相对独立，这里单开一篇文章来进行介绍。

概述

本质上，辐射度量学是在物理层面准确定义光照的方法。在 《计算机图形学基础（5）——着色》 一文中我们提到了光照强度，我们将半径为 \(r\) 时，对应的球面的一个点的光照强度为 \(I\)，那么具体它的单位是什么呢？在了解辐射度量学之后，这个疑问就能得到解答。

在辐射度量学中涉及了很多相关术语，这里我将它们分为两部分进行介绍。

几何

首先我们来看几何的相关术语，主要包含以下几个：

  • 角（Angles）
  • 立体角（Solid Angles）
  • 微分立体角（Differential Solid Angles）

角

在平面几何中，角的定义是弧长与半径的比值，其中 \(\theta\) 表示角，\(l\) 表示弧长，\(r\) 表示圆的半径，如下所示。圆自身的角度为 \(2\pi\)。

\[\begin{aligned} \theta = \frac{l}{r} \end{aligned}\]

立体角

在立体几何中，立体角的定义则是弧面积与半径平方的比值，其中 \(\Omega\) 表示立体角，\(A\) 表示弧面积，\(r\) 表示球的半径，如下所示。球自身的立体角为 \(4\pi\)。立体角主要用于描述空间中的一个锥体的张开角度。

\[\begin{aligned} \Omega = \frac{A}{r^2} \end{aligned}\]

微分立体角

微分立体角通过两个角度来定义球面上的一个唯一的方向，如下所示。其中，两个角度分别是：

  • 与 \(z\) 轴形成的夹角 \(\theta\)
  • 绕 \(z\) 轴形成的夹角 \(\phi\)

计算微分立体角，我们首先两个角度在球面所形成方向所占据的单位面积 \(dA\)。按照微分的思想，我们认为该面积等同于矩形的面积，因此我们要计算它的长和宽，分别为 \(rsin{\theta}d\phi\) 和 \(rd\theta\)，由此可以计算该单位面积。从而进一步求解微分立体角 \(d\omega\)，如下所示。

\[\begin{aligned} dA = & (r d\theta)(r sin{\theta} d\phi) = r^2 sin\theta d\theta d\phi \\ d\omega = & \frac{dA}{r^2} = sin\theta d\theta d\phi \end{aligned}\]

在辐射度量学中，我们通常用 \(\omega\) 来表示三维空间中的一个方向。我们可以使用 \(\theta\) 和 \(\phi\) 来确定其方向，并且还可以结合 \(d\theta\) 和 \(d\phi\) 来计算其微分立体角。

光学物理

在辐射度量学中，主要涉及以下几个光学物理相关术语。

  • 辐射能量（Radiant Energy）
  • 辐射通量（Radiant Flux）
  • 辐射强度（Radiant Intensity）
  • 辐射照度（Irradiance）
  • 辐射亮度（Radiance）

辐射能量

辐射能量（Radiant Energy）表示电磁辐射的能量，用符号 \(Q\) 表示，以 焦耳（J = Joule）为单位。

\[\begin{aligned} Q \\ unit: [J = Joule] \end{aligned}\]

辐射通量

辐射通量（Radiant Flux）表示单位时间内流通（发射、反射、传输、接收）的能量，用符号 \(\Phi\) 表示，以 瓦特（W = Watt）或 流明（lm = lumen）为单位。在实际应用中，我们经常将辐射通量称为能量，本质上是因为辐射通量可以结合时间快速计算出辐射能量。

\[\begin{aligned} \Phi = \frac{dQ}{dt} \\ unit: [W = Watt]/[lm = lumen] \end{aligned}\]

在光学物理中，我们也将辐射通量定义为 单位时间辐射出光子的数量。

辐射强度

辐射强度（Radiant Intensity）表示 单位立体角的辐射通量。其中 \(\Phi\) 表示辐射通量，\(\omega\) 表示立体角。我们可以用辐射强度描述一束光线，即形成一个锥体角度的光线，在单位时间内流通的能量。

\[\begin{aligned} I(\omega) = \frac{d\Phi}{d\omega} \\ unit: [\frac{W}{sr}][\frac{lm}{sr} = cd = candela] \end{aligned}\]

辐射照度

辐射照度（Irradiance）表示 单位（正交）面积的辐射通量。注意，这里计算的辐射通量必须与面垂直，如果光照不垂直于面，则计算其垂直分量。其中 \(\Phi\) 表示辐射通量，\(A\) 表示正交面积，$$ 表示位置。

\[\begin{aligned} E(p) = \frac{d\Phi(p)}{dA} \\ unit: [\frac{W}{m^2}][\frac{lm}{m^2} = lux] \end{aligned}\]

此时，我们回顾 《计算机图形学基础（5）——着色》 文中的兰伯特余弦定理，可以计算辐射照度，如下所示。

同样，我们还可以计算空间中一个点光源在空间中辐射的衰减到底是什么？如下所示，其实我们可以发现辐射照度随着半径增加而指数级衰减，辐射强度并没有发生变化。

辐射亮度

辐射亮度（Radiance）表示 单位立体角、单位（正交）面积的辐射通量。辐射亮度一般用于描述光线在传输过程中的属性。我们可以用辐射亮度来描述某个面光源在某个（锥形）方向的辐射通量。

从定义上看，辐射亮度在立体角、正交面积两个维度做了两次微分。其中，\(cos\theta\) 表示光线在单位面积垂直方向上的角度分量，\(p\) 表示位置，\(\omega\) 表示立体角。

\[\begin{aligned} L(p, \omega) = \frac{d^2\Phi(p, \omega)}{d{\omega}dA cos\theta} \\ unit: [\frac{W}{sr m^2}][\frac{cd}{m^2} = \frac{lm}{sr m^2} = nit] \end{aligned}\]

下面，我们回顾一下辐射强度和辐射照度的定义。

  • 辐射强度：单位立体角的辐射通量。
  • 辐射照度：单位（正交）面积的辐射通量

结合辐射强度和辐射照度的定义，我们可以将辐射亮度的定义进行转换，单位立体角的辐射照度 或 单位（正交）面积的辐射强度。这两种定义正好可以应用到两种不同方向的辐射亮度，分别是 入射辐射亮度 和 出射辐射亮度。

入射辐射亮度

入射辐射亮度（Incident Radiance）即单位立体角的辐射照度。我们可以理解从某个方向向一个面进行辐射，该面所接收的辐射照度，如下图所示。如果我们进一步考虑来自四面八方的辐射，比如环境光，那么可以计算得到这个面所接收的全部辐射照度。

\[\begin{aligned} L(p, \omega) = \frac{dE{p}}{d{\omega} cos\theta} \end{aligned}\]

出射辐射亮度

出射辐射亮度（Exiting Radiance）即单位（正交）面积的辐射强度。我们可以理解一个面向某个方向进行辐射，该方向所发射的辐射强度，如下所示。如果我们进一步考虑一个面向四面八方的辐射，那么可以计算得到这个面所发射的全部辐射强度。

\[\begin{aligned} L(p, \omega) = \frac{dI(p, \omega)}{dA cos\theta} \end{aligned}\]

辐射照度 vs. 辐射亮度

在图形学中，辐射照度（Irradiance）和辐射亮度（Radiance）用的非常多。在下图所示的场景中，辐射照度表示 \(dA\) 接收的所有能量；辐射亮度表示 \(dA\) 从某个方向接收的能量。相比而言，辐射亮度是一个更细粒度的分析属性。这样，我们就把辐射照度和辐射亮度联系起来了。

对于上图所示的场景，我们可以计算得到某个位置的辐射照度，如下所示，其中 \(H^2\) 表示单位半球面积。

\[\begin{aligned} dE(p, \omega) = & L_{i}(p, \omega) cos\theta d\omega \\ E(p) = & \int_{H^2} L_{i}(p, \omega) cos\theta d{\omega} \end{aligned}\]

应用

双反射分布函数

已知入射光线的能量和角度，当辐射到物体表面后，光线会向各个角度反射，且各个角度反射的能量是不同的。双反射分布函数（Bidirectional Reflectance Distribution Function，BRDF）就是用于计算这种场景下各个角度的反射能量。

如下所示，是一个入射和反射的场景，我们从辐射度量学的角度分别进行分析。

  • 入射阶段：当入射光线从 \({\omega}_i\) 角度辐射到物体表面的一个位置时，可以认为该位置吸收了所有的光线能量，用辐射照度来表示，即 \(dE({\omega}_i)\)。
  • 反射阶段：可以认为该位置将光线能量向各个方向进行辐射。对于方向 \({\omega}_i\) 的光线能量，用辐射亮度来表示，即 \(dL_r(x, {\omega}_r)\)。
\[\begin{aligned} dE({\omega}_i) = & L({\omega}_i) cos{\theta}_i d{\omega}_i \end{aligned}\]

本质上，BRDF 就是表示由入射方向 \({\omega}_i\) 向反射方向 \({\omega}_r\) 辐射能量的比例函数 \(fr({\omega}_i \rightarrow {\omega}_r)\)，其定义如下所示。

\[\begin{aligned} BRDF: f_r({\omega}_i \rightarrow {\omega}_r) = \frac{dL_r({\omega}_r)}{dE_i({\omega}_i)} = \frac{dL_r({\omega}_r)}{L_i({\omega}_i) cos{\theta}_i d{\omega}_i} \end{aligned}\]

在实际应用中，对于镜面反射，BRDF 定义反射方向包含所有能量，其他方向均为 0；对于漫反射，BRDF 定义所有方向的能量分布相同。事实上，BRDF 就是描述了光线和物体表面的作用，也就是决定了物体的材质。

反射方程

基于 BRDF，我们可以进一步推导出 反射方程（The Reflection Equation）。

由于 BRDF 定义了一个入射方向 \({\omega}_i\) 向一个反射方向 \({\omega}_r\) 反射时的能量比例。那么，我们可以通过积分计算所有方向对一个反射方向 \({\omega}_r\) 的能量聚合。因此，我们可以推导得出如下所示的反射方程。

\[\begin{aligned} L_r(p, {\omega}_r) = \int_{H^2}f_r(p, {\omega}_i \rightarrow {\omega}_r) L_i(p, {\omega}_i) cos{\theta}_i d{\omega}_i \end{aligned}\]

渲染方程

基于反射方程，我们还可以进一步推导出 渲染方程（The Rendering Equation）。

这里我们只需要额外考虑物体本身会发光的情况，于是增加一个发光项即可得到渲染方程，如下所示。其中，\(cos{\theta}_i\) 转换成了法向量和入射方向的点积 \(n \cdot {\omega}_i\)。现代图形学中，所有基于表面反射的渲染都是基于该渲染方程实现的。

\[\begin{aligned} L_r(p, {\omega}_r) = L_e(p, {\omega}_r) + \int_{H^2} L_i(p, {\omega}_i) f_r(p, {\omega}_i, {\omega}_r)(n \cdot {\omega}_i) d{\omega}_i \end{aligned}\]

总结

本文我们主要介绍了辐射度量学中的几个概念：辐射能量、辐射通量、辐射强度、辐射照度、辐射亮度等。基于这些概念，我们引入了 BRDF 的定义。然后依次推导出反射方程和渲染方程。

参考

  1. 《GAMES 101》